在临清停留一日，张敬修便按计划折道而行，赶往河南新郑，只是队伍中多了宋金保、钱川两名锦衣卫百户乔装随行，二人还对张敬修折道有过疑问，张敬修对此未加理会。
运河水路堪称明朝版高铁，在顺风顺水的情况下，张敬修乘坐的官船只用四日，便抵达河南河内县，与新郑只有一河之隔，不过这条河乃是黄河。
到了河内，因连下两日大雨，黄河水势汹涌，为安全起见，众人决定在河内停留一日，待黄河水势平缓下来，再渡河去对岸的新郑。
河内是怀庆府府治所在，郑王一系便受封于此。
张敬修在城内客栈一安顿好，即写好帖子命家丁送去郑王府。到了河内，怎能不去拜访一下多才多艺的郑王世子朱载堉？为此，他连官员结交宗室的忌讳都顾不得了。
可张敬修不把这点忌讳放在心上，郑王朱厚烷却顾忌与官员结交，回帖拒绝了张敬修的拜访。
对此，张敬修也是理解，他知道郑王朱厚烷曾被嘉靖皇帝削爵，还被禁锢在中都凤阳十几年，直到隆庆皇帝即位才复爵，有这样一番遭遇，朱厚烷行事心谨慎也在情理之郑
只是张敬修却有些不甘心，错过了这次机会，再想与朱载堉这位皇室中的学者有交集就难了。在他看来，在被当成猪养的朱明宗室中，朱载堉就是其中好不容易孕育出来的金麒麟，若要缓解宗藩之患，还得从其入手。
于是，张敬修带上自己撰写的《新算学启蒙》，亲自拿着拜帖去郑王府投帖拜见。
郑王府坐落在东大街上，座北向南。共辟有四门：东曰体仁门、西曰遵义门、南曰端礼门、北曰广智门。端礼门为王府正大门，王府四周围有砖砌的高大院墙，使它成为一座与外界隔绝的独立大院。
张敬修递上拜帖，一时半会儿的也没人出来回话，就耐心地待在府门外等候。
郑王府厅堂中，两个面容清矍的男子正对坐谈话，二人眉眼之间极为相似，只是年纪有些相差。显然，这二人就是这座王府的主人——郑王朱厚烷和世子朱载堉。
朱厚烷是第五代郑王，在嘉靖六年袭爵，曾在嘉靖二十七上书规谏嘉靖皇帝不要沉迷修道，惹得嘉靖皇帝大怒。
后来在嘉靖二十九年时，因为其伯父朱佑橏埋怨朱厚烷不为他恢复郡王爵位上奏，就趁着嘉靖皇帝大怒，上疏朱厚烷四十条罪行，以叛逆罪为首告发。
嘉靖皇帝下旨令中官聆讯，复报并无叛逆罪，但有以治宫室名号拟乘舆的罪校于是嘉靖皇帝以此为由，将朱厚烷废为庶人。直到新皇即位，才得以复爵，而且还增加岁禄四百石。不过即使已经复爵，朱厚烷还是如被禁锢在凤阳一样，一直都是穿布衣、吃粗茶淡饭。
而朱载堉，在父亲获罪被关时，刚满十五岁，但表现的很有志气，在王府门外建了一座土房子，并搬出王府在其中居住，而且发誓，父王一不归，他一日不回王府。就这样，朱载堉在土屋中一住就是十九年，直到去年朱厚烷放出，才重新回到王，时人无不称颂。
此刻，朱厚烷看着张敬修的拜帖，很是有些头疼。他没想到在已经拒绝过一次张敬修上门拜见的请求之后，张敬修这个年少得志的大学士公子居然还会亲自登门投帖。
朱厚烷将张敬修的拜帖递给朱载堉，问道：“堉儿，听闻这位张修撰素有才名，乃是我朝开科以来最为年少的状元，又是内阁张阁老之子，今不知为何会途经河内，还执意要来王府拜见，是要与你交流音律算学之道，你看是否要见上一见？”
朱载堉正在仔细翻看着随同拜帖一同送进的《新算学启蒙》，点零头道：“孩儿本不欲与朝臣打交道，不过这位张修撰于算学一道确有些奇思妙想，这本《新算学启蒙》就将泰西数字运用得极好，孩儿倒有心向其讨教一二。”
朱厚烷颔首道：“这位张修撰既是指名道姓要找你，又亲自来了王府，你去会一会他也好，父王就不见他了。注意，切莫谈论朝政之事。”
“是，父王放心，孩儿理会的。”
……
郑王府外，已等候了一刻多钟的张敬修，看着紧闭着的王府大门，叹了口气，心中微有些失望。看来今日要吃闭门羹了，这些宗藩还是害怕逾越礼制结交朝臣的，就连自己这的翰林院修撰都敬而远之。今日，他是特意穿着隆庆皇帝御赐的麒麟服来的，就是免得有人他私谒宗藩。
张敬修摇了摇头，正欲离开时，王府总管带着两个太监从里边迎出来。
王府总管一眼就看见身穿麒麟服的张敬修，见其转身欲走，忙快步上前道：“张修撰留步。真是怠慢张修撰了，还请勿怪。”
张敬修止住脚步，拱手道：“岂敢，是本官贸然来访，做了不速之客，要请王爷莫见怪才是。”
王府总管满面春风道：“王爷了，张修撰乃是贵客，特命咱家来请张修撰入王府一叙，请！”
张敬修含笑应了，在王府总管的陪同下步入王府，过承运门、承灶、存心门、存心殿，一直来到王府的后花园。
花园假山迤逦，曲廊飞檐，还有一片翠绿的竹林。
一个三旬上下的男子，一袭棉布玄衣，丰神如玉，墨发披肩，在竹林前盘膝而坐，手中正抚弄着一具古琴，眉宇之间颇有些洒脱之意。
张敬修心知这男子应该就是郑王世子朱载堉，当下无声地向他拱手笑了笑，大方地在一旁盘膝坐下，瞥了一眼古琴旁的《新算学启蒙》，静静听着朱载堉抚琴。
朱载堉一曲弹罢，向张敬修清婉一笑，道：“久闻张修撰声名，张修撰以万言廷策被陛下钦点为今科状元，乃是我大明朝开科举以来最为年少的状元郎，王心实慕之。听父王，状元郎要与我谈论乐律、算术，既是交流此中之道，我又素来不喜欢讲究什么官场规矩，便邀请状元郎在花园一叙，还请状元郎勿要见怪。”
张敬修笑着道：“那实是要多谢世子了，在下也不喜欢那些繁文缛节。交流学问，坐而论道，自是要无拘无束、轻松自若最好，只望世子莫要怪在下不知礼节。”
朱载堉诧异地看了张敬修一眼，见他双眸澄澈如水，非是顺意而言，不由添了一份好感，笑吟吟道：“状元郎名不虚传，难怪能将异国算学写得这般浅显易懂，实让我好生佩服。”
张敬修道：“世子谬赞，在下在京中就久闻世子为鸣父冤，筑土室于宫门外，席藁席独处十九年，诚孝感于地。又闻世子通乐律、精研算术及文历法，在下素来喜其中之道，因此从京中南下途径于此，便冒昧来王府求见世子，以向世子请教。”
朱载堉闻言，脸上微微动容，同时也有些心喜，只当张敬修是同道中人，方才会不怕逾越礼制，执意进王府与他相谈，当下兴致勃勃道：“既是如此，我等就不必多虚言，便互相印证一番如何？”张敬修自是欣然从之。
朱载堉笑问：“状元郎想必也精通音曲，你觉得我方才那一曲如何？”
张敬修哪里懂得什么音曲，他只是为了求见朱载堉，才要与其交流蠢，因而老实道：“好叫世子得知，在下对乐律之道实是一窍不通，只是对数学、格物之道有所研究，因在下担心再被王爷拒之门外，便在拜帖写上此言，倒是让世子看笑话了。”
朱载堉朗声大笑，觉得张敬修非是那种虚伪作态之人，乐道：“原来如此，其实，若非你这本随拜帖一同送进王府的《新算学启蒙》，还真会被父王和我拒于门外。”
着即与张敬修谈论起算术：“这些年来，除了研究乐律外，我一直想要利用算盘研究珠算开方法，对数字进行开方计算，如今也算有所得。”
而后便命人拿出一个横跨81档的特大算盘，在张敬修面前一边演示，一边着他的开方法，直让张敬修看直了眼。
所幸张敬修在程大位那里学了些珠算方法，倒也勉强能跟得上朱载堉的思路，偶尔还能插上几句，让朱载堉更加有了谈兴。
张敬修不知道的是，在他面前侃侃而谈的朱载堉不仅仅是一个音律学家、数学家，更是一个百科全书式的大科学家，其研究出的“十二平均律”震撼了整个世界。只是这样一位可比肩宋应星、徐光启的大科学家，在后世却声明不显，他的着作和创造也一直被束之高阁，其原因不过是他的朱明宗室身份而已。
张敬修想要将自己掌握的函数和微积分知识基础，在这个时代传授开来，从而让大明的科学家，通过领先时代的数学，去率先推开科学的大门，程大位和朱载堉就是他选中的人。
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